jueves, 30 de marzo de 2017

Diseña tu rampa: Tiro parabólico con arrastre

¿Cómo puedo saber cuál será la distancia y la altura de un salto en tal o cual rampa? o ¿A qué velocidad debo ir para saltar una rampa de determinada altura y ángulo y cuya rampa de aterrizaje está a tantos metros de distancia?

Respuesta corta: Yo no lo sé.

Dicho lo anterior, aquí va un modelo matemático sin utilidad práctica real pero que sirve como ejemplo para mostrar cómo puede iniciarse el análisis para responder estas preguntas.

Dado un ángulo de salida (en grados), una velocidad inicial (en metros sobre segundos), un valor de la constante de arrastre b (en uno sobre segundos) y una constante de aceleración de la gravedad (en metros sobre segundo al cuadrado), se calcula la distancia máxima (Rango) y la altura máxima de la parábola ideal
  • g gravedad (9.776 m/s2 en la Ciudad de México)
  • θ ángulo de salida (El ángulo de la rampa puede ser utilizado como una primera aproximación; sin embargo, sigue sin ser el ángulo REAL de lanzamiento).
  • θr ángulo de aterrizaje cuando se toma en cuenta la ecuación que incluye el arrastre
  • b coeficiente de arrastre
  • Vo velocidad inicial (1 m/s = 3.6 Km/h; 1 Km/h = 0.277777 m/s)
  • x distancia
  • y altura
  • R rango o x máxima
  • xn rango o x máxima cuando se toma en cuenta la ecuación que incluye el arrastre

Variables:

θ = grados
Vo = m/s
b = s-1
g = m/s2

Número de iteraciones para el método de Newton-Raphson:


Iteraciones del método de Newton-Raphson para encontrar la raíz faltante de la ecuación que sí toma en cuenta el arrastre b

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Resultados:

Rango y coordenadas x,y del punto más alto de la ecuación de la parábola ideal:

Rango y coordenadas x,y del punto más alto de la ecuación que toma en cuenta el arrastre b

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